Zdobywca pierwszej nagrody na Międzynarodowym Konkursie ARD w Monachium oraz laureat Międzynarodowego Konkursu „Praska Wiosna” i nagrody Parlamentu Europy i Rady Europejskiej. Urodził się w Łodzi. Tu ukończył studia pod kierunkiem Kazimierza Michalika, a uzupełniał je, pracując m.in. z André Navarrą, Milošem Sádlo oraz Danielem Szafranem podczas licznych kursów mistrzowskich. Odbył dwuletnie studia w Londynie w klasie Williama Pleetha jako stypendysta Witolda Lutosławskiego.
W ciągu ostatnich lat Andrzej Bauer wystąpił z recitalami m.in. w Amsterdamie, Paryżu, Wiedniu, Hamburgu i Monachium, a także z Filharmonikami Monachijskimi, Orkiestrą RAI w Neapolu, Orkiestrą Filharmoniczną w Strasburgu, Orkiestrą Radia w Stuttgarcie oraz Orkiestrą Radiową w Berlinie. Wiolonczelista koncertuje także regularnie z większością polskich orkiestr symfonicznych i kameralnych, a zespoły takie jak Orkiestra Symfoniczna Filharmonii Narodowej i Sinfonia Varsovia zapraszają go jako solistę swoich europejskich tras koncertowych.
Andrzej Bauer nagrywał dla wielu polskich i zagranicznych rozgłośni radiowych i stacji telewizyjnych. Brał udział w międzynarodowych festiwalach, występując w większości krajów Europy,
a także w Stanach Zjednoczonych i Japonii. Płyta artysty zawierająca m.in. utwory Schuberta, Brahmsa i Schumanna (Koch/ Schwann) została wyróżniona kwartalną Nagrodą Niemieckiej Krytyki Płytowej. W kolejnych nagraniach CD wiolonczelista utrwalił utwory Szostakowicza, Prokofiewa i Strawińskiego, Messiaena, Panufnika, a także Koncert wiolonczelowy Witolda Lutosławskiego. W 2000 roku ukazał się pierwszy w historii polskiej dyskografii dwupłytowy album z kompletem Suit wiolonczelowych J. S. Bacha, zarejestrowanych przez Bauera dla firmy CD Accord, za który artysta otrzymał nagrodę polskiej Akademii Fonograficznej Fryderyk 2000.
Repertuar Andrzeja Bauera zawiera wiele dzieł muzyki nowej i najnowszej, w tym utwory specjalnie dla niego skomponowane. W roku 2002, podczas 44. Międzynarodowego Festiwalu Muzyki Współczesnej „Warszawska Jesień” wystąpił z recitalem prawykonań utworów na wiolonczelę solo i media elektroniczne, powstałych z jego inspiracji. Zapoczątkowany wówczas projekt „Cellotronicum” jest przez artystę kontynuowany, owocuje nagraniami i kolejnymi prawykonaniami, które prezentowane są w ważnych centrach muzyki współczesnej w Europie. Kolejna edycja „Cellotronicum” prezentowana podczas Warszawskiej Jesieni została uhonorowana nagrodą Orfeusz 2006.
Andrzej Bauer jest profesorem Uniwersytetu Muzycznego Fryderyka Chopina w Warszawie oraz Akademii Muzycznej im. Feliksa Nowowiejskiego w Bydgoszczy, gdzie prowadzi klasy wiolonczel. Jest założycielem i opiekunem artystycznym Warszawskiej Grupy CELLONET.
Coraz więcej czasu poświęca kompozycji i improwizacji muzycznej.